Rubrica di matematica N°2

[Northwood]

Visto che ponendo problemi di medio-basso livello non sono riuscito a carpire la vostra attenzione, vi propongo questi problemi banali, ma comunque interessanti.

Problema 1 (Insiemistica):
Dimostra che
(3 punti)

Problema 2 (Aritmetica):
Mostra che
(4 punti)

Problema 3 (Geometria):
Dimostra che, dati due segmenti adiacenti, cui uno è il triplo dell'altro, il segmento che unisce i punti medi di questi ultimi è il doppio del segmento minore.
(3 punti)

TOTALE PUNTI: 10

Buona fortuna !

[Tibbo]

Risolvo il primo..

Gli elementi di A uniti agli elementi di B sono gli stessi di B unito ad A, cazzo c'è da dire ? °°:

A=[1,2,3,4] U B=[5]

AUB = [1,2,3,4,5] .. BUA=[1,2,3,4,5]

(scusa ma non so fare le graffe)

E il secondo

A___B

C _________D

La metà di CD più la metà di AB è uguale a mezzo AB + AB + un mezzo ab, ossia a 2AB.

[Northwood]

Risolvo il primo..

Gli elementi di A uniti agli elementi di B sono gli stessi di B unito ad A, cazzo c'è da dire ? °°:

A=[1,2,3,4] U B=[5]

AUB = [1,2,3,4,5] .. BUA=[1,2,3,4,5]

(scusa ma non so fare le graffe)

E il secondo

A___B

C _________D

La metà di CD più la metà di AB è uguale a mezzo AB + AB + un mezzo ab, ossia a 2AB.
[div align=right][snapback]1636[/snapback][/div]

Valutiamo
1° PROBLEMA (Insiemistica)

Non hai mostrato nulla. 0.75 punti per gli insiemi fatti bene.

3° PROBLEMA (Geometria)
Dovresti giustificare di più, perchè poco chiaro. Gradevole spunto di disegno. 2 punti

3 arrotondato

[Delirious]

Non so cosa significhi il simbolo sigma che collega n e sotto i=1 :kaos0293:

[Steve]

nemmeno io a dire la verità °_°

[Northwood]

Non avete mai sentito parlare di sommatorie ?

Cin cin ragazzi  :chirol_buha:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:

[Cho Teko]

E' come un ciclo for: credo significhi per i=1 esegui ciò che c'è nella sommatoria e incrementa i di 1 finchè i=n. Il risultato per i=1 va sommato ad i=2, i=3, i=4...i=n

(North, il problema di geometria sembra alla mia portata, credo che ci proverò :0)

[Edit: Soluzione del problema 3]

Credo sia così.



Sapendo che , possiamo dire che , di conseguenza: .


Ri-Edit: è sbagliato perchè i segmenti sarebbero adiacenti, ma PS mi è troppo nemico per permettermi di rifare il disegno, quindi correggo dopo cena :(

[Northwood]

E' come un ciclo for: credo significhi per i=1 esegui ciò che c'è nella sommatoria e incrementa i di 1 finchè i=n. Il risultato per i=1 va sommato ad i=2, i=3, i=4...i=n

(North, il problema di geometria sembra alla mia portata, credo che ci proverò :0)

[Edit: Soluzione del problema 3]

Credo sia così.



Sapendo che , possiamo dire che , di conseguenza: .


Ri-Edit: è sbagliato perchè i segmenti sarebbero adiacenti, ma PS mi è troppo nemico per permettermi di rifare il disegno, quindi correggo dopo cena :(
[div align=right][snapback]1679[/snapback][/div]

2.25 punti per quest'esercizio. Vedremo poi cosa fare se posti gli altri.

[Tibbo]

Se non capisci cazzi tuoi.

[Cho Teko]

Premettendo che non ho mai studiato le sommatorie quindi non le capisco, vorrei capire una cosa: quello che hai postato non significa certo
[1=n(n+1)/2]+[2=n(n+1)/2]+[3=n(n+1)/2]+...[n=n(n+1)/2] °_°;
E non è nemmeno possibile che i sia uguale a n(n+1)/2, in quanto i è variabile (va da 1 ad n) e n(n+1)/2 no, quindi, se non si era capito, potresti spiegarmelo meglio? Vorrei provare ad arrivarci :P

[Edit: Primo]
Eppoi scusa, non sono uguali per la proprietà commutativa degli insiemi? La stessa definizione di AUB dovrebbe essere "AUB è l'insieme degli elementi appartenenti ad A e a B", quindi non capisco cosa ti dobbiamo dire °_°;

[Ri-Edit: Il Primo]
Ok, credo di avere una soluzione accettabile.

Supponiamo che ci siano due insiemi C e D diversi:
C=AUB
D=BUA

Per essere diversi devono avere almeno un elemento differente, no?

Quindi supponiamo che C abbia un elemento in più di D. Questo elemento deve appartenere ad A o a B, o ad entrambi, in quanto C è l'unione di questi due. Ma in questo caso, appartenendo ad A o a B o ad entrambi, deve per forza esserci anche in D, quindi C e D non possono essere differenti. Possiamo dimostrare lo stesso per D. Va bene?


(Scusate l'ignoranza XD)

[Cho Teko]

Credo di aver risolto il secondo... Correggetemi se sbaglio:
(grazie North per avermi chiarito che significava)

Per calcolare la somma dei primi n numeri naturali è sommare gli estremi della serie; ad esempio:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)
quindi, per sommare le coppie di numeri, dovremo sommare 1 ad n, 2 al numero precedente ad n e così via:
(1+n)+(1+1+n-1)+(1+2+n-2)+(1+3+n-3)+(1+4+n-4) eccetera,
ovvero:
(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1) eccetera.
Quindi il risultato è una moltiplicazione: (n+1)*n/2. n/2 perchè, lavorando su due numeri alla volta, dobbiamo dimezzare il numero di numeri naturali che dovevamo addizionare, ovvero n. Ne consegue che la somma dei primi n numeri naturali è (n+1)*n/2=n(n+1)/2
Se la dimostrazione dovesse rivelarsi corretta, credo che sarebbe giusto togliere qualche punto per non aver capito la domanda che, per dirlo a tutti, era:

per i=1, finchè i non diventa uguale ad n, incrementa i. Somma i n volte, dimostra che il risultato sarà n(n+1)/2.

Se non sbaglio dovrebbe essere esprimibile anche in php, con un ciclo for:
for ($i=1; $i==$n; $i++) {
$sommadeiprimiNnumeri=$i+$sommadeiprimiNnumeri;
}

Che è uguale a dire che
$sommadeiprimiNnumeri=$n*($n+1)/2;

Se ho detto un mucchio di cretinate, scusatemi XD

[Northwood]

Credo di aver risolto il secondo... Correggetemi se sbaglio:
(grazie North per avermi chiarito che significava)

Per calcolare la somma dei primi n numeri naturali è sommare gli estremi della serie; ad esempio:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)
quindi, per sommare le coppie di numeri, dovremo sommare 1 ad n, 2 al numero precedente ad n e così via:
(1+n)+(1+1+n-1)+(1+2+n-2)+(1+3+n-3)+(1+4+n-4) eccetera,
ovvero:
(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1) eccetera.
Quindi il risultato è una moltiplicazione: (n+1)*n/2. n/2 perchè, lavorando su due numeri alla volta, dobbiamo dimezzare il numero di numeri naturali che dovevamo addizionare, ovvero n. Ne consegue che la somma dei primi n numeri naturali è (n+1)*n/2=n(n+1)/2
Se la dimostrazione dovesse rivelarsi corretta, credo che sarebbe giusto togliere qualche punto per non aver capito la domanda che, per dirlo a tutti, era:

per i=1, finchè i non diventa uguale ad n, incrementa i. Somma i n volte, dimostra che il risultato sarà n(n+1)/2.

Se non sbaglio dovrebbe essere esprimibile anche in php, con un ciclo for:
for ($i=1; $i==$n; $i++) {
$sommadeiprimiNnumeri=$i+$sommadeiprimiNnumeri;
}

Che è uguale a dire che
$sommadeiprimiNnumeri=$n*($n+1)/2;

Se ho detto un mucchio di cretinate, scusatemi XD
[div align=right][snapback]1769[/snapback][/div]

Dimostrazione davvero originale. Non hai neanche utilizzato l'assioma dell'induzione, sei grande :D
3 punti

[Northwood]

Supponiamo che ci siano due insiemi C e D diversi:
C=AUB
D=BUA

Per essere diversi devono avere almeno un elemento differente, no?

Quindi supponiamo che C abbia un elemento in più di D. Questo elemento deve appartenere ad A o a B, o ad entrambi, in quanto C è l'unione di questi due. Ma in questo caso, appartenendo ad A o a B o ad entrambi, deve per forza esserci anche in D, quindi C e D non possono essere differenti. Possiamo dimostrare lo stesso per D. Va bene?

[div align=right][snapback]1698[/snapback][/div]

Uhm ... hai cominciato ad enunciare la definizione di unione. Sii più preciso, sennò ti becchi solo 1.5 punti.

[Pigkappa]

Primo problema:

AUB = BUA

Per la proprietà commutativa dell'unione di insiemi, A U B è sempre uguale a B U A. Fine. Mi hai quasi chiesto "dimostra nella geometria euclidea che per un punto passa una sola parallela ad una retta data". Non è possibile confutare tali argomentazioni, e ti ricordo che la definizione di insieme non esiste.


Terzo problema:

A______M______B__N__C

AB = 3 BC; AM=MB, BN=NC

Poichè N è punto medio di BC, si ha 2BN =  BC. Essendo AB = 3BC, si ha anche AB=6BN. AM è uguale a MB e per ipotesi è metà di AB: MB=3BN. Si era spiegato prima che BC=2BN e risulta ora evidente che MN è 4 BN (MB+BN = 3BN+BN = 4BN). Si è dimostrato che BC = 1/2 MN.

Provo il secondo pur sapendo anche a malapena cosa significhi quel simbolo:

La somma di tutti i numeri da i ad n è data evidentemente da:

1+(1+1)+(2+1)+...+(n)=1+2+3...n
Si ha che la somma di una successione di numeri da uno ad n è data da
(n+1)*n/2 in quanto è possibile individuare utilizzando tutti i numeri delle coppie che formino per risultato n+1  (n+1; (n-1)+2; (n-2)+3...).
Siccome suppongo di essere stato poco chiaro, ritento.
La serie si può presentare così:
1+2+3+4+5+...+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n
Si trovano, usando tutti i numeri, coppie di valori che danno come somma n+1: il primo con l'ultimo (n+1), il secondo con il penultimo (2+n-1=n+1) e così via. Questo perchè, avanzando di una posizione, la quantità sale di uno, mentre arretrando di una posizione diminuisce di uno. Si devono utilizzare tutti i numeri, che si presentano a coppie; così la quantità per cui moltiplicare il valore n+1 è data dal numero dei numero (n) diviso due. Ovvero, (n+1)*n/2.
Confusionaria ma corretta.



Non ho letto per bene le soluzioni degli altri; non sono sicuro che tu sia un insegnante di matematica tale da poter giudicare così bene gli altri. Non so quale classe tu frequenti, ma dubito tu abbia il diritto di sfottere gli altri

Non avete mai sentito parlare di sommatorie ?

Cin cin ragazzi  :chirol_buha:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:  :kaos0283:

[Steve]

Voto pigkappa ministro dell'istruzione :D

[Cho Teko]

Stiv, sono offeso °_° ha detto le mie stesse dimostrazioni ma a me non mi hai votato. Non ti voglio bene :°

[Pigkappa]

Ma tu non hai una bella codina rosa arricciata :*

[Northwood]

ma dubito tu abbia il diritto di sfottere gli altri

Ma insomma ho offerto un boccale di birra a tutti, che c'è di male ? Meglio ubriacarsi insieme che piangere.

[Pigkappa]

Sì scusa, non avevo capito che questa era una rubrica organizzata ma pensavo ti fosse girato di mettere problemi al fine di sfottere chi non riconosceva i simboli...

Ehy, il mio lavoro non lo valuti? O_o.

[Pigkappa]

Problema numero 1.

Due insiemi A e B hanno necessariamente un numero di elementi finito. Si conti il numero di elementi, e si nominimo in modo adeguato ed in ordine alfabetico, prima quelli di A e poi quelli di B (se ci sono 21 elementi, si chiameranno A, B, C eccetera; se sono tra 21 e 21², AA, AB, AC eccetera; e così via). A questo punto si consideri l'insieme C=AUB, formato da tutti gli elementi di A e B. Si dispongano nuovamente questi elementi in ordine alfabetico. Il risultato sarà dato da tutti gli elementi di A seguiti da tutti quelli di B, che sono, per ipotesi, successivi nell'ordine alfabetico.
Si consideri ora l'insieme D=BUA. Si avrà un insieme formato dagli elementi di A e B. Si dispongano tale elementi in ordine alfabetico. Per ipotesi, quelli di B seguono quelli di A, e si avrà che l'insieme D è formato in ordine da tutti gli elementi di A seguiti da tutti quelli di B. Perciò C=D e quindi AUB = BUA.

[Steve]

North ha sbagliato la definizione di segmenti adiacenti.
<Northwood> Uhm
<Northwood> Quitto dalla vergogna.
* Northwood has quit IRC (Quit: iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

[Fedy]

Ehi raga approposito di matematica...
Domani ho il kompito in klasse e...
tratta le frazioni vabbè son facili!!speriamo... :kaos0281:  :kaos0281:
ce la farò! :kaos0304:

[Pigkappa]

PH33R TH3 FR4CT1ON5!!!!

In terza media le frazioni? O_o.

[Delirious]

In matematica non sono mai stato un fenomeno (quest'anno, nei compiti in classe, ho preso un 8, un 6,5, un 6+ e un 4,5), però stavolta, per grazia divina, mi sono classificato alla finale nazionale dei giochi della Bocconi col secondo posto nella mia provincia. Visto che c'è qualcuno che se la cava, mi piacerebbe sapere se incontrerò qualcuno lassù a Milano.

[Pigkappa]

Problema numero 1.

Due insiemi A e B hanno necessariamente un numero di elementi finito.

...Ok, questa è una cavolata.

Visto che c'è qualcuno che se la cava, mi piacerebbe sapere se incontrerò qualcuno lassù a Milano.

Sorry, quest'anno non li ho fatti quelli lì.

[Fedy]

In terza media le frazioni? O_o.

Stiamo ripetendo tutto il programma!
Il prof. vuole prepararci al meglio all'esame!
bah...ki lo kapisce!

[Diddy]

In terza media le frazioni? O_o.

Stiamo ripetendo tutto il programma!
Il prof. vuole prepararci al meglio all'esame!
bah...ki lo kapisce!
[div align=right][snapback]3927[/snapback][/div]

Beh ti serviranno, ma per l'anno prossimo la cosa ch ti servirà di + sono i prodotti notevoli...

[Pigkappa]

Gli servirà tutto l'anno dopo, tanto al liceo si rifà il programma a partire dagli insiemi, non ci sono generalmente problemi. Dovete essere una classe buona, per aver già finito tutto il programma di terza e potervi permettere di rifare tutto O_o.

[Doc Benway]

Secondo me il vero mutamento da medie a liceo in mate lo si ottiene con le scomposizioni...E' parecchio complicato, dopo che per 8 anni hai lavorato cercando di semplificare delle espressioni, da un qualcosa ricavarne una.

[Pigkappa]

Sono d'accordo. Quando sono arrivato al liceo tutta la prima parte del programma la sapevo, poi, arrivato alle scomposizioni, sono andato in tilt per un po'.

[Northwood]

Le dimostrazioni sono il vero salto di qualità dalle regolette delle medie al rigore matematico.

[Northwood]

Ecco le agoniate soluzioni:

Problema 1 (Insiemistica):

Dobbiamo dimostrare che .

Per definizione, dati due insiemi e ,
Analogamente,  .

Posto A:" "
B: "

Si ha:




Dobbiamo dimostrare che e per rendercene conto osserviamo le tabelle di verità:



Il teorema è quindi dimostrato in ogni caso.

Problema 2 (Aritmetica):



Applichiamo il passo induttivo:
- Per la tesi è banalmente soddisfatta
- Supponiamola vera per e dimostriamo che vale per

Si ha:


E finendo i calcoli:


La tesi è quindi dimostrata per induzione.

Problema 3 (Geometria):

Innanzi tutto mi scuso per l'errore nella definizione di segmento adiacente, e propongo qui la soluzione:

Due segmenti si dicono adiacenti se e solo se sono consecutivi e stanno sulla stessa retta.

[Pigkappa]

Ti stai scordando qualcosa... I MIEI PUNTEGGI!!!!!! O_o.

Comunque io non ho mai fatto robe come le tabelle di verità °_°.

[Northwood]

Ti stai scordando qualcosa... I MIEI PUNTEGGI!!!!!! O_o.

Comunque io non ho mai fatto robe come le tabelle di verità °_°.
[div align=right][snapback]4151[/snapback][/div]

7 e mezzo.

[Sofista]

Le dimostrazioni sono il vero salto di qualità dalle regolette delle medie al rigore matematico.
[div align=right][snapback]4008[/snapback][/div]

Ma va là, il rigore matematico è solo un modo di dire.
Di certo arrivarci non è un salto di qualità per nessuno.
Il salto di qualità avverrebbe applicando a campi reali e non astratti quello che si impara (e la scuola italiana da questo punto di vista è carente).
http://mox.polimi.it/qsv/
Scaricate il pdf e dategli una lettura, quella è matematica, le dimostrazioni rigorose lasciarele a chi non ha niente da fare nella vita (o a quelli capaci di dimostrare qualcosa di nuovo).

[Fedy]

Secondo me il vero mutamento da medie a liceo in mate lo si ottiene con le scomposizioni...E' parecchio complicato, dopo che per 8 anni hai lavorato cercando di semplificare delle espressioni, da un qualcosa ricavarne una.

Sono d'accordo. Quando sono arrivato al liceo tutta la prima parte del programma la sapevo, poi, arrivato alle scomposizioni, sono andato in tilt per un po'.

State skerzando vero?
Io...vado matta x queste kose!
sn ultramegasuperarcifacili!
(ovviamente se parlate delle scomposizioni in fattori primi!)eheheh :kaos0281:

[Pigkappa]

Le scomposizioni in fattori primi dei numeri le sa fare anche mia nonna. Quelle dei polinomi magari sono un po' più difficili, e di certo non le fate alle medie. Alle medie non potete arrivare dal polinomio: 1-(3x-5)³ a dire che viene fuori dalla moltiplicazione di 9*(2-x)*(3x²-9x+7) (se ho fatto bene i conti).

[Fedy]

ah....ekko! :kaos0281:

[Northwood]

Ma va là, il rigore matematico è solo un modo di dire.
Di certo arrivarci non è un salto di qualità per nessuno.
Il salto di qualità avverrebbe applicando a campi reali e non astratti quello che si impara (e la scuola italiana da questo punto di vista è carente).
http://mox.polimi.it/qsv/
Scaricate il pdf e dategli una lettura, quella è matematica, le dimostrazioni rigorose lasciarele a chi non ha niente da fare nella vita (o a quelli capaci di dimostrare qualcosa di nuovo).
[div align=right][snapback]4289[/snapback][/div]

Ritorniamo alle vecchie beghe del 1700-1800 tra matematici puri e matematici applicativi  :kaos0333:

Personalmente, uno dei motivi per cui mi piace fare matematica è proprio la sfida intellettuale che mi pongo, che esula da risultati pratici. Coloro che non sono dentro questo "giro", non possono capire quanto sia bello lavorare su concetti astratti.

[Sofista]

Bè, io ti consiglio comunque di leggere quel pezzo di libro.
Per il resto quando sarai anche tu un universitario, darai esami di analisi, di fisica e di altro vedrai che comincerai a capire che la matematica applicata sarà anche meno figa ma di sicuro è molto più utile.
D'altronde di sfide intellettuali ne è pieno il mondo (esempio lampo: partita a scacchi),  anche senza andare ad infilarsi nella dimostrazione di teoremi.